概统概率公式总结

概率论的基本概念

补事件

$A-B=A-AB=A\overline{B}$

德摩根律

$\overline{\bigcup^n_{i=1}A_i}=\bigcap^n_{i=1}\overline{A_i}$

$\overline{\bigcap^n_{i=1}A_i}=\bigcup^n_{i=1}\overline{A_i}$

概率可加性

$P(\bigcup^\infty_{i=1} A_i)=\sum^\infty_{i=1}P(A_i)$ 其中 $A_1 A_2 ...$ 是一列两两互不相容的事件

$P(\bigcup^n_{i=1} A_i)=\sum^n_{i=1}P(A_i)$ 其中 $A_1 A_2 ...A_n$ 是一列两两互不相容的事件

一些常识

$P(\emptyset)=0$

如果 $A\subset B$，则 $P(A)\leq P(B)$，反之不一定成立

$P(A)+P(\overline{A})=1$

加减法公式

$P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

古典概型

$P(A)=\dfrac{k}{n}$ 其中 $k$ 是事件 $A$ 的样本点数，$n$ 是样本总点数

几何概型

$P(A)=\dfrac{S_A}{S_\Omega}$ 其中 $S_A$ 是事件 $A$ 对应的面积，$S_\Omega$ 是总面积

条件概率

$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$ 其中 $P(B)>0$，$B$ 发生情况下 $A$ 发生的条件概率

乘法公式

$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$

$P(A_1A_2A_3...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})$

全概率公式

$P(B)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)P(B|A_i)$ 其中 $A_i$ 是一个划分

贝叶斯公式

$P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}$

独立的判断与性质

$P(AB)=P(A)P(B)$ 与 $A$、$B$ 独立互为充要条件

$(A,B)$、$(A,\overline{B})$、$(\overline{A},B)$、$(\overline{A},\overline{B})$ 四个之中只要有一个独立，其余三个均独立

若 $A$ 与 $A$ 独立则 $P(A)=0$ 或 $1$

$P(A)>0,P(B)>0$ 且 $AB=\emptyset$ 则 $A$ 与 $B$ 独立，二者互为充要条件

从 $A_1,A_2,...,A_n$ 中任取 $k(2\leq k \leq n)$ 个事件均满足：

$P(A_{i_1}A_{i_2}...A_{i_n})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})...P(A_{i_n})$

伯努利实验

如果实验 $E$ 只有两个结果：$A$ 和 $\overline{A}$，并且 $P(A)=p,P(\overline{A})=q$，把实验 $E$ 独立的重复 $n$ 次构成一个实验，成为 $n$ 重伯努利实验

随机变量及其类型

分布函数及其性质

二项分布

写作 $X\sim B(n,p)$，$n$ 为实验次数，$p$ 为成功概率

$P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1,...,n$

$E(X)=np$，$D(X)=npq=np(1-p)$

泊松分布

写作 $X\sim P(\lambda)$，$\lambda$ 为参数且大于零

$P(X=k)=\dfrac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}$，$k=0,1,...$

$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，$E(X^2)=\lambda^2 + \lambda$

设 $X,Y$ 相互独立，且分别服从参数为 $\lambda_1,\lambda_2$ 的泊松分布 $Z=X+Y$ 有 $Z\sim P(\lambda_1+\lambda_2)$

几何分布

写作 $X\sim G(p)$，$P>0$

$P(X=k)=pq^{k-1}=p(1-p)^{k-1}$，$k=1,2,...$

$E(X)=\dfrac{1}{p}$，$D(X)=\dfrac{q}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}$，$E(X^2)=\dfrac{q+1}{P^2}$

$P(X>n+m|X>m)=P(X>n)$ 几何分布的无记忆性

超几何分布

写作 $X\sim H(n,M,N)$，$N>M,N>n$

$P(X=k)=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$，$k=0,1,...,min(M,n)$

密度函数及性质

$F(x)=\int^x_{-\infty}f(t)dt,x\in R$，$f(x)$ 即为密度函数

$0\leq f(x)$，$\int^\infty _{-\infty}f(x)=1$

$P(X=c)=0$，$c$ 为常数

$P(a<x<b)=P(a<x\leq b)=P(a\leq x<b)=P(a\leq x \leq b)=\int^b_af(x)dx$

均匀分布

写作 $X\sim U(a,b)$

$f(x)=\dfrac{1}{b-a}$，$x\in(a,b)$

$F(x)=\dfrac{x-a}{b-a}$，$x\in(a,b)$

$E(x)=\dfrac{a+b}{2}$，$E(x^2)=\dfrac{a^2+b^2+ab}{3}$，$D(x)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$

指数分布

写作 $X\sim E(\lambda)$

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，$x>0$

$F(x)=1-e^{-\lambda x}$，$x>0$

$E(x)=\dfrac{1}{\lambda}$，$E(x^2)=\dfrac{2}{\lambda^2}$，$D(x)=\dfrac{1}{\lambda^2}$

$P(X>t+s|X>s)=P(X>t)$ 指数分布的无记忆性

正态分布

写作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}$，$x\in R$

将 $\mu=0,\sigma^2=1$ 的正态分布称为标准正态分布，其分布函数写作 $\Phi(x)$，密度函数写作 $\phi(x)$

$\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$，$\Phi(x)=\int^x_{-\infty}\phi(t)dt$

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，令 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$，则 $Z\sim N(0,1)$

$E(x)=\mu$，$D(x)=\sigma^2$

设 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，且 $X_i\sim N(\mu _i,\sigma^2_i)$，$i=1,2,...,n$ 那么对于任意常数 $a_i$，$i=1,2,...,n$ 以及常数 $c$，有：

$\sum^n_{i=1}a_iX_i+c\sim N(\sum^n_{i=1}a_i\mu _i+c,\sum^n_{i=1}a_i^2\sigma^2_i)$ 正态分布的可加性

离散型随机变量函数的分布列

若 $X\sim \left[\begin{matrix} x_1~x_2~x_3 ...\\ p_1~p_2~p_3 ... \end{matrix}\right]$，$Y=g(X)$，则：

$Y\sim \left[\begin{matrix} g(x_1)~g(x_2)~g(x_3) ...\\ p_1~~~~~p_2~~~~~p_3 ... \end{matrix}\right]$

一个定理

设连续性随机变量 $X$ 的密度函数为 $f_X(x)$，$y=g(x)$ 是一个严格单调函数，且具有一阶连续导函数，$x=h(y)$ 是 $y=g(x)$ 的反函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为：

$f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|$

二维随机变量的联合分布函数及其性质

设二维随机变量 $(X,Y)$，对任意实数 $x,y$，二元函数：

$F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$ 称为 $(X,Y)$ 的联合分布函数

$P(x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)$

$F(x,y)$ 对 $x$ 或 $y$ 都是不减函数，即对任意 $y$，若 $x_1\leq x_2$，则 $F(x_1,y)\leq F(x_2,y)$，对于任意的 $x$ 同理

$F(-\infty,y)=0$，$F(x,-\infty)=0$，$F(-\infty,-\infty)=0$，$F(\infty,\infty)=1$

$F(x+0,y)=F(x,y)=F(x,y+0)$

边际分布函数

$F_X(x)=F(x,\infty)$，$F_Y(y)=F(\infty,y)$

二维离散型随机变量的独立性

设 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量，$X$ 与 $Y$ 的可能取值分别为 $x_1,x_2,...$ 与 $y_1,y_2,...$ 如果对任意的 $i,j=1,2,...$ 都有：

$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$ 则称 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的

二维离散型随机变量的条件分布列

设 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量，$X$ 与 $Y$ 的可能取值分别为 $x_1,x_2,...$ 与 $y_1,y_2,...$ 如果对任意的 $i,j=1,2,...$，称：

$p_{i|j}=P(X=x_i|Y=y_j)=\dfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}$ 为已知 $\lbrace Y=y_j \rbrace$ 的条件下 $X$ 的分布列

二维连续型随机变量及性质

设 $F(x,y)$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数，若存在非负函数 $f(x,y)$ 使得对于任意的 $x,y\in R$，有：

$F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv$

则 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数

$f(x,y)\ge0$，$\int^\infty _{-\infty}\int^\infty _{-\infty}f(x,y)dxdy=1$

$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

$f_X(x)=\int^\infty _{-\infty}f(x,y)dy,x\in R$，$f_Y(y)=\int^\infty _{-\infty}f(x,y)dx,y\in R$

$f_X(x)$ 为 $X$ 的边际密度函数，$f_Y(y)$ 为 $Y$ 的边际密度函数

二维均匀分布

$D$ 为平面有界闭区域，面积为 $S_D$

$f(x,y)=\dfrac{1}{S_D}$，$(x,y)\in D$

若 $G$ 为 $D$ 的子区域：

$P((X,Y)\in G)=\iint_G f(x,y)d\sigma=\dfrac{1}{S_D}\iint_G d\sigma=\dfrac{S_G}{S_D}$

二维正态分布

写作 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，$\sigma_1>0,\sigma_2>0,|\rho|<1$

$f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}e^{\dfrac{-1}{2(1-\rho^2)}[\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\dfrac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}$

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，且参数分别为 $(\mu_1,\sigma_1)$ 和 $(\mu_2,\sigma_2)$

具有相同的参数 $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2$，但 $\rho$ 不同的二维正态分布具有相同的边缘分布函数

$X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho=0$

设 $Z=aX+bY$、$W=cX+dY$，$a~b~c~d$ 均为常数，则 $(Z,W)$ 也遵从二维正态分布，且 $Z$ 和 $W$ 均为一维正态分布

二维连续型随机变量的独立性

若对于所有的 $x,y$ 有：

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 或 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ 则称 $X$ 和 $Y$ 相互独立

若 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，则 $X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho=0$

二维连续性随机变量的条件密度

给定 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数与条件密度函数：

$F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}\dfrac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$，$f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

给定 $X=x$ 的条件下 $Y$ 的条件分布函数与条件密度函数：

$F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}\dfrac{f(x,u)}{f_X(x)}du$，$f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$

$f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)$

极大极小分布

设随机变量 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，且 $X_i$ 的分布函数为 $F_{X_i}(x)$，$i=1,2,...$

令 $Y=max\lbrace X_1,X_2,...,X_n\rbrace$，$Z=min\lbrace X_1,X_2,...,X_n\rbrace$

$Y$ 的分布函数 $F_{max}=\prod^n_{i=1}F_{X_i}(x)$

$Z$ 的分布函数 $F_{min}=1-\prod^n_{i=1}(1-F_{X_i}(x))$

特别的，如果 $X_1,X_2,...,X_n$ 的分布函数相同，有：

$F_{max}=F(x)^n$，$F_{min}=1-(1-F(x))^n$

$max\lbrace X,Y\rbrace=\dfrac{1}{2}(X+Y+|X-Y|)$

$min\lbrace X,Y\rbrace=\dfrac{1}{2}(X+Y-|X-Y|)$

随机变量的数字特征

数学期望

$EX=\sum^{\infty}_{k=1}x_kp_k$（离散型随机变量）

$E(X)=\int^\infty _{-\infty}xf(x)dx$（连续型随机变量）

设 $Y=g(X)$，则：

$E(Y)=\sum^\infty _{k=1}g(x_k)p_k$（$X$ 是离散）

$E(Y)=\int^\infty _{-\infty}g(x)f(x)dx$（$X$ 是连续）

设 $Z=g(X,Y)$，$f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的密度函数则：

$E(Z)=\sum^\infty _{i=1}\sum^\infty _{j=1}g(x_i,y_j)p_{ij}$（$Z$ 是离散）

$E(Z)=\int^\infty _{-\infty}\int^\infty _{-\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$（$Z$ 是连续）

设 $(X,Y)$ 为二维离散随机变量有：

$E(X)=\sum^\infty _{i=1}\sum^\infty _{j=1}x_ip_{ij}$，$E(Y)=\sum^\infty _{j=1}\sum^\infty _{i=1}y_jp_{ij}$

设 $(X,Y)$ 为二维连续随机变量，联合概率密度函数为 $f(x,y)$ 有：

$E(X)=\int^\infty _{-\infty}\int^\infty _{-\infty}xf(x,y)dxdy$，$E(Y)=\int^\infty _{-\infty}\int^\infty _{-\infty}yf(x,y)dxdy$

$E(c)=c$，$E(cX)=cE(X)$，$c$ 为常数

$E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$，$g(X)~h(Y)$ 为 $X$ 和 $Y$ 的函数，$E[g(x)h(y)]=E[g(x)]E[h(y)]$

$E(XY)=\iint[f(x, y)*x*y]dxdy$

方差

$D(X)=E\lbrace [E-E(X)]^2\rbrace=E(X^2)-[E(x)]^2=\sigma _X^2$

$D(c)=0$，$c$ 为常数

$D(aX+b)=a^2D(X)$，$a$ 与 $b$ 均为常数

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

协方差

$Cov(X,Y)=E\lbrace [X-E(X)][Y-E(Y)]\rbrace=E(XY)-E(X)E(Y)$

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$

$Cov(X,X)=D(X)$

$Cov(aX,bY)=ab\cdot Cov(X,Y)$

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，有 $Cov(X,Y)=0$，反之不成立

$Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$

$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\cdot Cov(X,Y)$

相关系数

$\rho_{XY}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$

$|\rho_{XY}\leq 1|$

当 $\rho_{XY}=1$ 时，存在正整数 $a$ 与实数 $b$ 使 $Y=aX+b$（$X$ 与 $Y$ 成正相关），$-1$ 时称负相关

当 $\rho_{XY}=0$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 不相关（只指没有线性关系，不代表独立）

若 $(X,Y)$ 遵守二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho_{XY}=0$

随机变量的标准化

$X^*=\dfrac{X-EX}{\sqrt{DX}}$

$EX^*=0$，$DX^*=1$

$\rho_{X,Y}=\rho_{X^*,Y^*}=EX^*Y^*$

矩

设 $X$ 为一个随机变量，如果 $E|X|^k<\infty$，$k=1,2,...$，则称 $EX^k$ 为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩，称 $E(X-EX)^k$ 为 $X$ 的 $k$ 阶中心距

协方差矩阵

设 $X_1,X_2,...,X_n$ 为 $n$ 个随机变量，令 $\sigma_{ij}=Cov(X_i,X_j)$，$i,j=1,2,...,n$

称矩阵 $\sum=(\sigma)_{n\times n}$ 为 $X_1,X_2,...,X_n$ 的协方差矩阵

协方差矩阵是对称矩阵，是半正定矩阵

大数定律

切比雪夫不等式

设随机变量 $X$，$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，对于任意正数 $\varepsilon$，有：

$P\lbrace |X-\mu|\ge\varepsilon \rbrace \le \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

$P\lbrace |X-\mu|<\varepsilon \rbrace \ge 1-\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

大数定律与中心极限定理

设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 是一个随机变量序列，$a$ 是一个常数，若对于任意整数 $\varepsilon$，有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace |X_n-a|\ge\varepsilon\rbrace=0$

或

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace |X_n-a|<\varepsilon\rbrace=1$

则称序列 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 依概率收敛于 $a$，记为 $X_n\rightarrow^Pa$

切比雪夫大数定律

设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 是一个相互独立的随机变量序列，每个随机变量都存在有限的方差，且一致有界，即存在常数 $C$，使 $D(X_i)\le C$，则对于任意正数 $\varepsilon$，有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace |\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i-\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}E(X_i)|\ge\varepsilon\rbrace=0$

伯努利大数定律

设 $n_A$ 是 $n$ 重伯努利实验中事件 $A$ 的出现次数，$p$ 是事件 $A$ 在每次实验中出现的概率，对任意正数 $\varepsilon$，有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace |\dfrac{n_A}{n}-p\ge\varepsilon\rbrace=0$ 或 $\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace |\dfrac{n_A}{n}-p<\varepsilon\rbrace=1$

辛钦大数定律

设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 是一系列独立同分布的随机变量，且具有数学期望 $E(X_i)=\mu$，$i=1,2,..,n,...$，对于任意正数 $\varepsilon$ 有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace |\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i-\mu|>\varepsilon\rbrace=0$（即 $\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i$ 依概率收敛于 $\mu$）

独立同分布的中心极限定理

设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 是相互独立同分布的随机变量序列，且 $E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，$i=1,2,...$，对于 $\forall x\in R$，有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace \dfrac{\sum^n_{i=1}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\le x\rbrace=\Phi(x)$

即：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P((\sum^n_{i=1}X_i)^*\le x)=\Phi(x)$

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

设随机变量 $X$ 是 $n$ 重伯努利实验中事件 $A$ 的出现次数，$p$ 是事件 $A$ 在每次实验中出现的概率，对任意实数 $x$，有：

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\lbrace \dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\rbrace=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{-\dfrac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)$

概统统计公式总结

数理统计的基本概念

一些重要的统计量

设 $X_1,X_2,...,X_n$ 是从总体 $X$ 中抽取的样本：

$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i$ 样本均值

$S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2=\dfrac{1}{n-1}(\sum^n_{i=1}x_i^2-n\overline{X}^2)$ 样本方差

$S=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}$ 样本标准差

$A_k=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}X^k_i$，$k=1,2,...$ 样本 $k$ 阶原点矩

$X_{(n)}=max\lbrace X_1,X_2,...,X_n\rbrace$ 极大次序统计量

$X_{(1)}=min\lbrace X_1,X_2,...,X_n\rbrace$ 极小次序统计量

$\chi^2$分布

设 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，且均服从 $N(0,1)$，称：

$\chi^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 为服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记作 $\chi^2(n)$

若 $X\sim \chi^2(n)$，$Y\sim \chi^2(m)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $X+Y\sim \chi^2(n+m)$ $\chi^2$ 分布的可加性

若 $X\sim \chi^2(n)$，有 $E[\chi^2(n)]=n$，$D[\chi^2(n)]=2n$

t分布

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，称：

$t=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 为服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作 $t(n)$

当 $n$ 充分大时，$t$ 分布可以近似看做标准正态分布

F分布

设 $X\sim \chi^2(n)$，$Y\sim \chi^2(m)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，称：

$F=\dfrac{X/n}{Y/m}$ 为服从自由度为 $n,m$ 的 $F$ 分布，记作 $F(n,m)$

$t(n)^2=F(1,n)$，$F(n,m)=\dfrac{1}{F(m,n)}$

单正态总体的抽样分布定理

设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,...,X_n$ 是总体 $X$ 的简单随机样本，样本均值为 $\overline{X}$，样本方差为 $S^2$，有：